八位“Booth二位乘算法”乘法器

原理

补码乘法器

之前介绍了几篇无符号乘法器或加法器的写法，当然，稍作修改也就可以改成符合有符号数的乘法器或加法器。

但是呢，我们之前写的乘法器或加法器，其实都是默认是正数来写的，而且是以正数的原码来写的，所以上面说稍作修改也就可以成为有符号数的乘法器或加法器，其实就是对我们以为的原码进行取补码，再进行乘法或加法的运算。

随着计算机硬件部件的升级，处理器技术的发展，现代处理器中的定点数(小数点位置固定)都是按照补码形式来存储的。

所以在之前写的无符号加法器中，只要利用：
$$
X_补+Y_补=[X+Y]_补
$$
就可以轻易将原先的加法器改写成有符号加法器——只要对结果再取一次补码即可。

但是乘法器呢？稍作学习可以知道，补码的乘法是这样的：
$$
XY_补=[XY]_补
$$
我们再考虑一下之前所说的：在现代处理器中的定点数都是按照补码形式来存储的。

所以我们要想得到两个数的乘法结果，首先应该知道被乘数的原码和补码，再对最终结果取补码，即可得到我们期望的乘法结果。

那么如何求“X*Y补”呢？在处理器中，一个二进制数Y补形如y7y6y5y4y3y2y1y0，也就是表示一个数的补码，那么它的原码是多少呢？

补码的计算方法，除了“首位不变，余位取反再加一”的方式，还有一种就是“用溢出条件来减这个数”，在我们之前第一节课说二进制的时候，以钟表为例——“十二进制”，得到结论——“4是-8的补码”。

我们用第二种取补码的方式：-8的补码=12-8=4（这里没有考虑符号问题，只是求了补码的值）

所以考虑一下符号的话，-8的补码=8-12=-4

同理：

十进制下，-4的补码=4-10=-6

二进制下，-101补码=1101补码=101-1000=-011=1011

这样解决求补码的方式在接下来的计算方面就更方便了，至于正数嘛，不变就好了。

回到上面的问题，一个二进制数Y补形如y7y6y5y4y3y2y1y0，它的原码是多少呢？根据：
$$
[X_补]_补=X
$$
Y补的原码Y应该为：
$$
Y=(y_72^7+y_62^6+y_52^5+……+y_02^0)-12^8
$$
稍微化简一下：
$$
Y=-y_72^7+(y_62^6+y_52^5+……+y_02^0)
$$
所以我们如果想求X*Y，可以先求其补码：
$$
[XY]_补=[X*(-y_72^7)+X(y_62^6+y_52^5+……+y_02^0)]_补
$$
根据补码加法“X补+Y补=[X+Y]补”再稍微化简一下：
$$
[XY]_补=-y_7*[X2^7]_补+y_6[X2^6]_补+y_5[X2^5]_补+……+y_0[X2^0]_补
$$
再引入一个定理：
$$
[X2^n]_补=X_补2^n
$$
所以上式又可以换一种写法：
$$
[XY]_补=X_补*(-y_72^7+(y_62^6+y_52^5+……+y_02^0))=YX_补
$$
哦这不就是上面介绍过的补码乘法嘛：
$$
[XY]_补=YX_补=XY_补
$$
如果令一个数Y1补=y6y6y5y4y3y2y1y0，去掉了首位，那么上式是不是可以理解为：
$$
[XY]_补=X_补Y1_补-y_7X_补2^7
$$
其中的Y1补不就刚好是Y补的后7位嘛？也就是说一个乘法可以分为两部分理解：首位的乘法和其他位的乘法。首位的乘法产生的部分积符号是减，其他位的部分积符号为加。

经过上面的推导大家应该会对补码乘法的原理有了一定的概念，我们来把它写成竖式的形式，以(-6)x(-7)为例，原码乘应该是1110x1111，在计算机中是以补码的形式存储，所以补码乘是1010x1001，代入公式，令X补=1010，Y补=1001，其运算过程如下：

这里可能有一些迷惑的是：为什么第一步运算得到的结果是11111010？为什么要在前面填充1111？

这也就是所谓的符号填充，我们之前的设计中都没有涉及到符号位，所以默认都是填充0，现在遇到了负数问题，也就需要填充符号了，但是这样看起来是不是一点都觉得很奇怪？如果没办法理解的话，我建议你可以尝试对它求补码，看看是不是可以保持首位符号位不变，余位取反加一。惊叹于设计师的机智。

补码乘法器的原理讲明白了，具体电路实现的话，大家可以尝试一下，本节重点不在于此。

Booth一位乘

在上面已经讨论了补码乘法器的原理，那么什么是Booth乘法器呢？Booth乘法器是由英国的Booth夫妇提出的，并没有什么特殊含义，所以我们直接快进到内容。

经过补码乘法器的推导：
$$
[XY]_补=X_补(-y_72^7+(y_62^6+y_52^5+……+y_02^0))
$$
参考中学数学：
$$
2^n=22^{n-1}
$$
其核心计算思想是括号里的形式，也就是Y补的原码Y，**所以我们对括号里的内容再进行分解合并，也就是对Y分解合并。先分解：
$$
Y=-y_72^7+((2-1)y_62^6+(2-1)y_52^5+……+(2-1)y_02^0)
$$
这样应该挺直观了吧：
$$
Y=-y_72^7+(y_62^7-y_62^6)+(y_52^6-y_52^5)+……+(y_02^1-y_02^0)
$$
再合并：
$$
Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(0-y_0)*2^0
$$
最后有个0-y0的项，看起来有点不合群，所以令：
$$
y_{-1}=0
$$
代入上式，即：
$$
Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(y_{-1}-y_0)*2^0
$$
这也就是Booth一位乘算法的原理。其优点就在于不用再像补码乘法器那样，不需要专门对最后一次部分积采用补码减法。

根据上式，还可以列出Booth一位乘的规则：

y(i-1) y(i) y(i-1) - y(i) 操作
0 0 0 加0
0 1 -1 减X补
1 0 1 加X补
1 1 0 加0

再举个例子来计算，仍以(-6)x(-7)为例，补码乘是1010x1001，列出竖式：

可是这里为什么还是有减法呢？和常规的补码乘法器相比，简直是老和尚抹洗头膏，大可不必。甚至由于每次判断两位数字，增大了电路的复杂度，那么为什么booth乘法器如此好用呢？

其实booth一位乘算法并不常用，但是booth二位乘就不一样了，通过增加一定的空间复杂度，将运算周期减为一半！

Booth二位乘

还是根据补码乘法器，我们将Y的表达式再进行变换——先分解：
$$
Y=-2y_72^6+y_62^6+(y_52^6-2y_52^4)+……+y_02^0+y_{-1}2^0
$$
再整合：
$$
Y=(y_5+y_6-2y_7）2^6+（y_3+y_4-2y_5）2^4)+……+(y_{-1}+y_0-2*y_1)*2^0
$$
好了Booth二位乘算法也完事了，类比于Booth一位乘，我们也可以列出Booth二位乘的规则：

y(i-1) y(i) y(i+1) y(i-1) + y(i) - 2*y(i+1) 操作
0 0 0 0 加0
0 1 0 1 加X补
1 0 0 1 加X补
1 1 0 2 加2*X补，即X补<<1
0 0 1 -2 减2*X补，即X补<<1
0 1 1 -1 减X补
1 0 1 -1 减X补
1 1 1 0 加0

再举个例子来计算，仍以(-6)x(-7)为例，补码乘是1010x1001，列出竖式：

运算周期减半了！

好了，那Booth乘法器有没有三位乘呢？可以有，但是三位的时候就会出现加3*X补，2*X补可以通过左移一位得到，而3*X补就有点麻烦了，所以不再介绍，至于四位乘、八位乘，想挑战的同学可以挑战一下。

设计思路

减法变加法

首先我们来解决一个问题，如何把减法消除？我们知道，减去一个数，等于加上这个数的相反数；减去一个数，也等于加上这个数的补码。这个过程中的减数也默认是正数，因为正数的补码还是正数，只有正数前面加一个符号再去补码才有用。那么如上面竖式所写，减去一个负补码，就应该等于加上“这个负补码的补码的相反数”，比如上面的补码乘法器竖式，就应该变换成如下形式：

再说明一下吧：**减11010，就相当于加11010的补码的相反数，即加10110的相反数，即00110**。

所以booth一位乘算法的示例应该变成这样：

booth二位乘算法的示例应该变成这样：

vivado特性

考虑到上述减法变加法的操作后，容易总结出：减法变加法，其实就是对补码的符号位取反，也就是对减数每一位取反后再加一。

再回读一边上述的理论部分，可能你会发现，在乘法运算中，只用到了补码和“负补码”两种概念的数字。而在vivado中（相当于在处理器中），数字默认是以补码形式存储的，即输入的乘数默认就是补码形式，这样只需要再求出“负补码”即可。设X[3:0]表示一个乘数，默认是以补码形式存储，则其“负补码”：
$$
X_{负补码}=!X + 1
$$
至于其原码：
$$
X_{原码}=(X[3],!X[2:0]) + 1
$$
其实根本用不着。

有了以上知识储备，我们就可以写代码啦~

设计文件

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//由于实力不够，没能设计成改一个数字变一个规模的程序
`define size 8
module mul_booth_signed(
    input wire [`size - 1 : 0] mul1,mul2,
    input clk,
    input wire [2:0] clk_cnt,//运算节拍，相当于状态机了，8位的话每次运算有4个拍
    output wire [2*`size - 1 : 0] res
    );

    //由于传值默认就是补码，所以只需要再计算“负补码”即可
    wire [`size - 1 : 0] bmul1,bmul2;
    assign bmul1 = (~mul1 + 1'b1) ;
    assign bmul2 = (~mul2 + 1'b1) ;//其实乘数2的负补码也没用到。
	//其实可以把状态机的开始和结束状态都写出来，我懒得写了，同学们可以尝试一下啊~
    parameter   zeroone       =   3'b00,
                twothree      =   3'b001,
                fourfive      =   3'b010,
                sixseven      =   3'b011;
    //y(i-1),y(i),y(i+1)三个数的判断寄存器，由于有多种情况，也可以看成状态机（也可以改写成状态机形式，大家自己试试吧）
    reg [2:0] temp;

    //部分积
    reg [2*`size-1 : 0] A;
	//每个节拍下把相应位置的数据传给temp寄存器
    always @ (posedge clk) begin
        case(clk_cnt)
            zeroone  : temp <= {mul2[1:0],1'b0};
            twothree : temp <= mul2[3:1];
            fourfive : temp <= mul2[5:3];
            sixseven : temp <= mul2[7:5];
            default : temp <= 0;
        endcase
    end
	
    always @(posedge clk) begin
        if (clk_cnt == 3'b100) begin//如果节拍到4就让部分积归0，此时已经完成一次计算了
            A <= 0;
        end else case (temp)
            3'b000,3'b111 :   begin//这些是从高位到低位的判断，别看反了噢
                A <= A + 0;
            end
            3'b001,3'b010 : begin//加法操作使用补码即可，倍数利用左移解决
                A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1));
            end
            3'b011 : begin
                A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
            end
            3'b100: begin//减法操作利用“负补码”改成加法操作，倍数利用左移解决
                A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
            end
            3'b101,3'b110 : begin
                A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1));
            end
            default: A <= 0;
        endcase
    end
	//当节拍到4的时候写入结果寄存器。
    assign res = (clk_cnt == 3'b100) ? A : 0;
endmodule

这是一个八位Booth二位乘算法的乘法器，至于Booth一位和Booth四位的乘法器，大家各自尝试就好。

此外在这个文件当中，我用到了clk_cnt这个寄存器，大家是不是以为我会多用一个模块用来产生clk_cnt的波形？

~~身为一个懒人，我直接在测试文件里写了吼吼吼~~~

综合电路

37个元件，36个IO口，318根线

测试文件

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`timescale 1ns / 1ps
module mul_tb(
    );
    reg [7:0] mul1,mul2;
    wire [15:0] res;
    reg clk;
    wire clk_en;
    reg [2:0] clk_cnt;

    initial begin
        mul1 <= -8'd7;
        mul2 <= -8'd3;
        clk <= 0;
        clk_cnt <= 3'b0;
    end

    always # 10 clk = ~clk;
	//clk_cnt发生器，懒人版
    always @(posedge clk) begin
        clk_cnt <= clk_cnt + 1'b1;
        if (clk_cnt == 3'b100)
            clk_cnt <= 3'b00;
    end
	//每次运算结束后，让乘数变化，以便产生不同的数据用以观察
    assign clk_en = (clk_cnt == 3'b100) ? 1'b1 : 1'b0;
    always @ (posedge clk_en) begin
        mul2 <= mul2 + 1'b1;
    end

    mul_booth_signed try(.mul1(mul1),.mul2(mul2),.res(res),.clk(clk),.clk_cnt(clk_cnt));
endmodule

仿真波形

将其改成有符号十进制数形式显示，可以验证电路设计正确。